Першим тренером хлопця у місцевій ДЮСШ став Юрій Крежевицький. Саме він помітив у Бурди неабиякі здібності до гри у захисті та одразу ж відрядив юного футболіста у оборону. У віці 13 років Микита Бурда опинився у Республіканському вищому училищі фізичної культури, де продовжив тренування під керівництвом Олександра Петракова. Три роки потому Петраков став тренером юнацької збірної України, а Бурду разом з кількома іншими перспективними футболістами РВУФК забрали до академії «Динамо», де Микита потрапив до групи Олексія Дроценка.

У сезоні 2012/13 Бурда дебютував у складі юнацької команди «Динамо», здобувши разом з партнерами перемогу у дебютному чемпіонаті України серед юнаків віком до 19 років, а вже наступного року активно почав залучатися до матчів дублюючого складу. У червні 2014 року Микита Бурда у складі юнацької збірної України став учасником чемпіонату Європи серед юнаків, що проходив в Угорщині. Українська команда посіла лише 3-є місце у своїй групі, що не дозволило їй потрапити до півфіналу турніру. У першому матчі зі збірною Сербії Бурда відзначився забитим м'ячем вже на першій хвилині зустрічі. 23 серпня того ж року Микита дебютував у складі основного складу київського «Динамо», провівши повний поєдинок у розіграші Кубка України проти кіровоградської «Зірки».

18 вересня у матчі Ліги Європи проти «Ріу Аве» він вийшов на поле у стартовому складі, однак був замінений через пошкодження на 86-й хвилині гри. 5 жовтня 2014 року провів перший поєдинок у змаганнях Прем'єр-ліги, відігравши усі 90 хвилин проти донецького «Шахтаря» у Києві (1:0). З початку 2018 року став основним центральним захисником «Динамо». Відзначився центрбек і важливим результативним ударом: його гол у ворота «Шахтаря» в матчі за Суперкубок України 2019 року допоміг «Динамо» виграти 2:1 і завоювати трофей.

22 вересня 2019 року у зустрічі чемпіонату з «Ворсклою» (5:0) Бурда отримав серйозну травму і на 53-й хвилині був замінений на Тамаша Кадара. В результаті захисник пропустив майже 10 місяців і повернувся на поле лише 12 липня 2020 року в грі чемпіонату з «Олександрією» (2:2), замінивши на 24-й хвилині Олександра Сироту. Наступний сезон пропустив через травму. 1 березня 2023 року був орендований луганською «Зорею» до завершення сезону 2022—2023.

У липні 2023 року приєднався до "Колосу" на правах вільного агента, уклавши з ковалівським клубом повноцінний контракт.