Народився в Запоріжжі, навчався в двох різних школах. Пішов у 6-й клас з поглибленим вивченням футболу. У 2004 році, ще будучи школярем, потрапив до дубля запорізького «Металурга». Перший тренер — Володимир Шаповалов.

26 травня 2013 року На початку 2009 року увійшов до структури клубу київського "Динамо", але відразу був відданий в другу команду, що виступала в другій лізі, де він за півроку зіграв у шести матчах і забив один гол, справивши гарне враження на тренерський штаб, тому влітку був повернутий до основної команди, проте весь наступний сезон грав лише за молодіжну команду.

У Прем'єр-лізі дебютував на початку наступного сезону 25 липня 2010 року в матчі проти львівських «Карпат» (0:1), проте все одно більше часу виступав у молодіжному чемпіонаті. Після того, як за підсумками сезону 2010/11 «Металург» покинув Прем'єр-лігу, з клубу пішли ряд гравців і Цуріков став основним гравцем команди, допомігши запорожцям в першому ж сезоні повернутись до еліти, де також залишився основним гравцем на наступний сезон. Всього провів за команду у Прем'єр-лізі 28 ігор (2 голи), у першій лізі — 24 (2 голи), а в кубку України — 5 (1 гол). «Динамо» та оренди 21 грудня 2012 року, разом із своїм партнером по команді Сергієм Сидорчуком, підписав п'ятирічний контракт з київським «Динамо».

13 квітня 2013 року дебютував за основу «Динамо» у матчі проти львівських «Карпат», вийшовши на заміну на останній хвилині матчу замість Брауна Ідеє. До кінця сезону Андрій зіграв у трьох матчах за основну команду. У сезоні 2013/14 також здебільшого виступав за молодіжну команду (15 ігор, 7 голів), провівши за головну команду 3 матчі в чемпіонаті і один в кубку. На другу половину сезону 2014/15 перейшов в оренду до «Металурга» (Запоріжжя).

Влітку 2015 року разом з групою інших гравців «Динамо» перейшов в оренду в ужгородську «Говерлу». В Прем'єр-лізі дебютував 19 липня 2015 року в матчі першого туру чемпіонату проти дніпропетровського «Дніпра» (1:1), в якому відіграв увесь матч. Наприкінці 2015 року перейшов на правах оренди в грецький «Левадіакос».

Наприкінці червня 2016 року став гравцем «Олександрії». 15 червня 2017 розірвав контракт з «Динамо» і став вільним агентом. Після отримання статусу вільного агента мав пропозиції з-за кордону та від луганської «Зорі». Проте вже 19 червня 2017 року підписав повноцінний контракт з ФК «Олександрією».

У червні 2008 року був уперше викликаний в юнацьку збірну України до 16 років на турнір пам'яті Віктора Баннікова. На турнірі Цуріков зіграв у 4 матчах, а Україна посіла 5-те місце. Протягом 2008—2010 років грав за юнацькі збірні України різних вікових категорій. З початку 2012 року був основним гравцем молодіжної збірної України, де грав протягом двох років, зігравши за цей час 20 матчів і забивши 2 голи. На початку вересня 2018 року головний тренер національної збірної України Андрій Шевченко викликав Цурікова для підготовки до матчів Ліги націй проти Чехії та Словаччини.

В липні 2023 року приєднався до "Колосу" на правах вільного агента, уклавши з клубом повноцінний контракт.